|
|
Un numero x 
Z è divisibile per n se e solo
se risulta x 
0 (mod n). x ammette
la rappresentazione polinomiale in base 10:
x = an10n + ...+a110 + a0
divisibilità per 3
10 1 (mod 3); elevando al quadrato ambo i membri: 102 1 (mod 3); e in generale,
per ogni h, 10h 1 (mod 3). Moltiplicando ambo i membri per a risulta che,
qualunque sia h, a·10h a (mod 3). Quindi:
divisibilità per 9
Per ogni esponente h la congruenza vale 10h 1 (mod 9). Quindi come per il
3 un numero è divisibile per 9 se e solo se è divisibile per 9 la somma delle
sue cifre.
divisibilità per 4 o 25
x = 100a2 + 10a1 + a0 ; poiché 100
0 (mod 4), e 100 0 (mod 25), allora: x è divisibile per 4 (o per 25) se e
solo se è divisibile per 4 (per 25) il numero costituito dalle sue ultime due
cifre.
divisibilità per 2n o
5n
Generalizzando, 10n 0 sia modulo 2n che modulo 5n, quindi un numero è divisibile
per 2n (o per 5n) se lo è il numero costituito dalle sue ultime n cifre.
divisibilità per 11
100 1 (mod 11) , 101 -1 (mod 11);
calcolando le successive potenze di entrambi i membri:
quindi le successive potenze di 10 sono congrue a 1 se l'esponente è pari, e congrue a -1 se l'esponente è dispari.
un numero è divisibile per 11 (cioè è congruo a 0 modulo 11) se è divisibile per 11 la somma delle sue cifre prese con segno alternato.
divisibilità per 7
100 1 (mod 7),
calcolando le successive potenze di entrambi i membri:
Le successive potenze di 10 ripetono periodicamente la stessa sequenza: 1, 3, 2, 6, 4, 5 o analogamente 1, 3, 2, -1, -3, -2 (è più comodo usare i negativi corrispondenti piccoli, dopo 3, perché i conti sono più semplici). Dunque x è divisibile per 7 se:
divisibilità per 19
Osserviamo che 20 1 (mod 19).
x = 10n + a0 (es 2345=234x10+5) è divisibile per 19 se lo è il suo doppio.
2x = 20n + 2a0
Ma 20 1 (mod 19), perciò 2x = 20n + 2a n + 2a (mod 19).
x è divisibile per 19 se lo è la somma delle sue decine e del doppio delle unità. Si può proseguire iterativamente con tale formula.
Esempio:
35749 =3574×10+9
35749×2 =3574×20+9×2 3574 + 18
= 3592 (mod 19).
3592 = 359×10 + 2
3592×2 = 359×20 + 2×2 359 +4 = 363 (mod 19).
363 = 36×10+3
363×2 = 36×20+3×2 36 +6 = 42 (mod 19).
Poiché 42 non è divisibile per 19, non lo era 35749
Per saperne di più consulta i seguenti approfondimenti:
Tutto quanto riportato in questa pagina è a puro scopo informativo personale. Se non ti trovi in accordo con quanto riportato nella pagina, vuoi fare delle precisazioni, vuoi fare delle aggiunte o hai delle proposte e dei consigli da dare, puoi farlo mandando un email. Ogni indicazione è fondamentale per la continua crescita del sito.