|
|
Quanto è lunga la costa della Sardegna? La domanda può sembrare banale ma la risposta, se non avete mai sentito parlare dei frattali, vi sorprenderà: la sua lunghezza è infinita! Come si può arrivare a giustificare una simile affermazione? Beh, diciamo subito che si tratta solo di una estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza parole. Proverò a spiegarlo gradualmente iniziando con un esempio.
La seguente figura mostra come generare il cosiddetto fiocco di neve di Von Koch: si prende un segmento lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato ; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare.
Se il nome "fiocco di neve" vi sembra poco appropriato per la curva di seguente , forse cambierete idea osservando ciò che si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un triangolo.
Il fatto che la distanza fra due punti (misurata lungo la curva) è sempre infinita lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve appena visto. Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via. Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende ad assumere un valore infinito. Ma non è tutto: ogni pezzo del fiocco di neve, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e quindi anch'esso è di lunghezza infinita. Torniamo ora alla nostra domanda iniziale: quanto è lunga la costa della Sardegna? Ebbene, la risposta dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che però cresce a dismisura se si inizia a prendere in considerazione ogni più piccolo promontorio, ogni anfratto, ogni scoglio, ogni granello di sabbia. Insomma un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale. In realtà i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente una gran varietà di oggetti e fenomeni della Natura: non solo un tratto di costa ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia ne sono alcuni esempi.
Tutto quanto riportato in questa pagina è a puro scopo informativo personale. Se non ti trovi in accordo con quanto riportato nella pagina, vuoi fare delle precisazioni, vuoi fare delle aggiunte o hai delle proposte e dei consigli da dare, puoi farlo mandando un email. Ogni indicazione è fondamentale per la continua crescita del sito.