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Il principio di induzione matematica, insieme alle proprietà delle operazioni, caratterizza l'insieme N.
Se una proprietà P(x), il cui insieme ambiente sia N:
vale per il numero 0,
e nel caso valga per un numero naturale x, vale certamente anche per il successore x',
Allora quella proprietà vale per ogni numero naturale.
Per dimostrare, applicando tale Principio, che una data proprietà P(x) vale per ogni x appartenente ad N, si procede nel modo seguente:
si verifica che la proprietà P(x) vale con x=0;
si suppone, come ipotesi di lavoro, che la proprietà valga con x = k, e si dimostra che, sotto questa ipotesi, la proprietà deve necessariamente valere anche con x=k+1.
Queste due condizioni garantiscono, per il Principio di induzione matematica,
che la proprietà P(x) vale su tutto N. Un'ovvia variante consiste nel "partire da 1" anziché da zero o da qualsiasi valore minimo per cui tale proprietà abbia senso.
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