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L'insieme di Mandelbrot (d'ora in poi indicato con M) è un luogo geometrico del piano complesso; più precisamente è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfano la legge di Mandelbrot:
Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formula:
z(n+1) = z(n)*z(n) + c
con z(0) = 0
non diverge.
Cosa ha di speciale questo insieme? E' presto detto: la sua frontiera (cioè il suo perimetro) è una curva frattale, uno dei frattali più complessi che si conoscano.
Si vede che M nella sua interezza: i punti dell'insieme sono quelli di colore nero all'interno della grossa cardioide mentre gli altri colori sono usati per indicare le diverse velocità con cui la successione diverge, come spiegato più avanti. Grazie alla proprietà dell'autosimilitudine, la frontiera di M si presta ad una interminabile e sorprendente esplorazione. Nel caso del fiocco di neve, zoomando su un piccolo tratto di curva si visualizza una nuova curva uguale a quella di partenza; con M, invece, le cose sono un po' diverse: la proprietà dell'autosimilitudine vale in senso lato, infatti la frontiera di M è disseminata di un'infinità di minuscole cardioidi somiglianti ma non uguali a quella di partenza e le immagini che si possono ottenere sono infinitamente varie. La principale differenza tra la grossa cardioide di e quelle minuscole che la circondano sta nei sottili filamenti che uniscono queste ultime al corpo principale dell'insieme. I filamenti, simili a fulmini sono interamente costituiti da punti appartenenti ad M ed infatti è possibile dimostrare che M è un insieme connesso.
Per esplorare l' insieme di Mandelbrot è possibile scaricare questo software: MandelbrotExplorer.
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