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Da un punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot č un insieme connesso di punti nel piano complesso. Consideriamo il piano cartesiano, in cui a ogni punto P corrispondono due coordinate. Nel piano complesso, il punto P si trova in corrispondenza biunivoca con il numero complesso w = a + ib. Infatti ogni numero complesso (a+ib) puņ essere rappresentato con un punto P di coordinate (a,b) di un piano (piano di Gauss).. Partiamo da un punto P0 nel piano complesso e applichiamo successivamente le seguenti iterazioni:
Z0 = 0
Z1 = Z02 + P0
Z2 = Z12 + P0
Z3 = Z22 + P0
. . .
Ovviamente ad ogni numero Z corrisponde un diverso punto, che ha una determinata distanza dall'origine. Si puņ vedere che, mentre alcuni punti si allontanano rapidamente dall'origine, altri si allontanano dopo un maggior numero di iterazioni, e infine altri, per quante iterazioni si facciano, rimangono sempre all'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio 2 (detto cerchio critico). Il procedimento precedente viene ripetuto per tutti i punti del piano complesso. Ora non resta altro da fare che "accendere" sullo schermo ogni punto con il colore corrispondente al numero di iterazioni che gli occorrono per sfuggire dal cerchio critico. Se il punto resta confinato al suo interno assume il colore nero. Risulteranno perciņ dello stesso colore tutti i punti che, secondo la successione di Mandelbrot, escono dal cerchio dopo lo stesso numero di iterazioni.
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