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Uno spazio vettoriale sul campo K è costituito da :
un gruppo abeliano (V,+), i cui elementi v chiamiamo vettori,
un campo (K,+,x) , i cui elementi k chiamiamo scalari.
una legge KxV->V con le seguenti proprietà:
per ogni v, w 
V e per ogni h, kK sia:
k(v + w) = kv + kw
(h + k)v = hv + kv
(h x k)v = h(kv)
1v = v.
Per esempio Q2 = QxQ su Q è uno spazio vettoriale.
Il polinomio Q2[x] su Q è uno spazio vettoriale.
La matrice M2x2[R] su R è uno spazio vettoriale.
Sia V spazio vettoriale sul campo K.
Si dice che W è sottospazio vettoriale di V sul campo K se è a sua volta spazio
vettoriale su K, quindi se è sottogruppo di V e se il prodotto di un elemento
di W per uno scalare di K appartiene ancora a W. (K xW->W).
Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo, e quindi anche i sottospazi;
questa è una condizione necessaria ma non sufficiente perché un sottoinsieme
sia sottospazio. Come per le altre strutture, non è necessari verificare tutti
gli assiomi; esiste un criterio, cioè una condizione necessaria e sufficiente
perché un sottoinsieme sia sottospazio:
Sia V spazio vettoriale sul campo K. W è sottospazio vettoriale
di V sul campo K se comunque presi due vettori x e y di W e due scalari h e
k di K, la chiama combinazione lineare dei due vettori risulta:
hx+kyW
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