La struttura di gruppo

Indichiamo con il simbolo (A, @) un insieme A e una operazione @.
Se (A, @) è un gruppo, e inoltre l'operazione @ gode della proprietà commutativa, allora si dice che (A, @) è un gruppo commutativo, oppure gruppo abeliano.
TEOREMA. In un gruppo (A, @) l'elemento neutro è unico.
TEOREMA. In un gruppo (A, @) l'inverso a' di un elemento a è unico.
TEOREMA. In un gruppo (A, @) vale la legge di cancellazione (rispetto all'operazione @); cioè:
se a @ c = b @ c -> a = b.
TEOREMA. Se (A, @) è un gruppo, allora per ogni a, b A l'equazione a @ x = b ammette una ed una sola soluzione ed è x = a' @ b, ove a' è l'inverso di a.

Se un gruppo ha un numero finito di elementi, tale numero è detto ordine del gruppo.
Sia (A, @) un gruppo di ordine n. Si pone (a⁰ = u e a¹ = u @ a per convenzione)
a² = u @ a @ a = a @ a¹
a³ = u @ a @ a @ a = a @ a²
a⁴ = u @ a @ a @ a @ a =…
Poiché gli elementi sono in numero finito, le successive potenze di un elemento a non possono essere tutte distinte, ad un certo punto si ottiene l'elemento neutro u.
Il più piccolo r >0 per cui risulta a^r = u è detto periodo di a.
Per saperne di più consulta i seguenti approfondimenti:

• I gruppi (Zn ,+), (Z*p ,x)

• Il gruppo simmetrico su n oggetti

• Sottogruppi

• I gruppi ciclici